Le cours sera consacré à diverses applications de la notion de définissabilité en géométrie non-archimédienne.
En particulier on présentera des avatars récents du principe d'Ax-Kochen-Er{\v s}ov, un substitut $p$-adique au théorème des accroissements finis et, si le temps le permet, une application à la topologie des espaces de Berkovich.

On s'intéresse aux formules du premier-ordre dans le langage des groupes, et à leurs propriétés d'expression
sur les groupes libres. Le célèbre problème de Tarski demande par exemple s'il est possible de distinguer deux groups libres de rang distincts par un énoncé du premier-ordre. La réponse, négative, a du attendre les travaux de Sela et de Kharlampovich-Myasnikov dans les années 2000. On peut également s'intéresser aux sous-ensembles qui peuvent être définis par une telle formule, ou encore étudier l'ensemble des formules satisfaites par un élément donné d'un groupe.

Il s'avère que ces questions peuvent souvent être traitées de manière très efficace grace à des outils de théorie géométrique des groupes, c'est-à-dire en étudiant les propriétés géométriques d'actions de groupes sur divers espaces. Le but du cours sera de comprendre à travers des exemples cette interaction surprenante entre théorie des modèles et géométrie.