Résumés des cours et exposés


Thierry Levy :

--- Le champ maître sur le plan

Sur le plan euclidien, ou sur une surface compacte comme une sphère ou un tore, la mesure de Yang-Mills est la distribution d'une collection de matrices aléatoires indexée par l'ensemble des lacets que l'on peut tracer sur la surface. On peut penser à la surface comme à un espace-temps et à la matrice aléatoire associée à un lacet comme rendant compte de la modification de l'état d'une particule qui parcourt le trajet dans l'espace-temps matérialisé par ce lacet. Lorsque la taille des matrices aléatoires tend vers l'infini, la trace de la matrice associé à chaque lacet a une limite déterministe, qui est donc un nombre qui ne dépend que de ce lacet. La fonction qui à chaque lacet associe ce nombre s'appelle le champ maître et elle satisfait des équations différentielles remarquables, appelées équations de Makeenko-Migdal, qui la rendent aisément calculable. Dans ce cours, nous présenterons la mesure de Yang-Mills et nous expliquerons les idées les plus importantes qui permettent de démontrer l'existence du champ maître et d'établir les équations différentielles qu'il satisfait.


Jean-François Le Gall :

--- Grandes cartes aléatoires

Considérons une triangulation de la sphère choisie aléatoirement, de manière uniforme, parmi toutes les triangulations ayant un nombre fixé n de faces (deux triangulations sont identifiées si on passe de l'une à l'autre par un homéomorphisme direct de la sphère). On munit l'ensemble des sommets de cette triangulation de la distance de graphe usuelle. On montre alors que, quand le nombre n de faces tend vers l'infini, l'espace métrique ainsi obtenu, convenablement changé d'échelle, converge en loi, au sens de la distance de Gromov-Hausdorff, vers un espace métrique compact aléatoire appelé la carte brownienne. Ce résultat, qui résout un problème posé par Schramm, reste vrai avec la même limite pour des classes beaucoup plus générales de graphes plongés dans la sphère. La carte brownienne apparaît ainsi comme un modèle universel de surface aléatoire, dont on sait montrer qu'elle est homéomorphe à la sphère bien que de dimension de Hausdorff égale à 4. Nous essaierons de donner les idées principales qui ont conduit à ces développements récents.


Elise Goujard :

--- Racines de polynômes aléatoires

(résumé à venir)