Soit b un entier au moins égal à 2. Un nombre réel x est normal en base b si, pour tout entier k, tout bloc de longueur k sur l'alphabet {0, 1, ..., b-1} apparaît dans le développement en base b de x avec la fréquence 1/b^k. Soient r et s deux nombres entiers multiplicativement indépendants. Vers 1960, Cassels et Schmidt, indépendamment, ont montré l'existence de nombres réels x normaux en base r qui ne sont pas normaux en base s. Nous donnons les idées de la démonstration et présentons des extensions de ce résultat. Nous évoquerons ensuite divers résultats d'existence de nombres réels ayant des propriétés d'approximation diophantienne prescrites et dont l'écriture en base b possède certaines particularités (par exemple, lorsque b égale 3, on peut demander que les nombres appartiennent à l'ensemble triadique de Cantor). Enfin, nous montrerons qu'un nombre réel irrationnel ne peut avoir simultanément un développement binaire et un développement décimal « très simples », en un certain sens.

L'objectif de ce cours est de présenter certains problèmes relatifs à la distribution (statistique) des zeros de la fonction zeta de Riemann sur la droite critique ainsi que la distribution des valeurs de cette fonction sur la droite critique. Ces problèmes sont généralement très difficiles, voire hors d'atteinte avec les techniques classiques connues à ce jour. Depuis les années 2000, certains modèles aléatoires provenant des matrices aléatoires ont été utilisés pour faire des prédictions spectaculaires en théorie des nombres. Après avoir établi quelques résultats classiques, nous donnerons quelques exemples de calculs pertinents pour les théoriciens des nombres dans le monde des matrices aléatoires.