L'objectif de cette série d'exposés est de montrer comment le mouvement brownien peut être obtenu comme limite hydrodynamique d'une particule marquée dans un système déterministe de sphères dures (avec un choix d'échelles de temps et d'espace convenables). On présentera la théorie cinétique de Boltzmann ainsi que les idées fondamentales de Lanford qui ont permis de démontrer la convergence d'une dynamique déterministe de sphères dures vers l'équation de Boltzmann et qui jouent un rôle clef dans la preuve de la limite de diffusion.

La compréhension dynamique fine des équations d'ondes nonlinéaires a fait des progrès
spectaculaires ces trente derniers. Néanmoins si certaines classes de problèmes dits sous critiques sont aujourd'hui relativement bien compris notamment quant à la description de l'onde en temps grand, une large classe de problèmes critiques et surcritiques reste largement inexplorée avec probablement de nombreuses dynamiques nouvelles à découvrir. Un des phénomènes qui a attiré une attention importante ces dix dernières années est la possible formation de singularités.
Une intuition se dégage pour l'etude de ces problèmes autour du role fondamental joué par des ondes très particulières se propageant sans déformation: les ondes solitaires.
Dans ce cours, j'illustrerai la problématique sur l'exemple modèle d'une équation de Schrödinger nonlinéaire, en rappelant tout d'abord l'état de l'art sur les problématiques d'existence globale et les conjectures classiques associées, puis en illustrant par des exemples la problématique de construction de solutions explosives au voisinage des ondes solitaires.