Les buts de ce mini-cours sont les suivants :
-- Introduction aux fonctions L locales et globales, et problèmes algorithmiques liés à leur calcul.
-- Calcul du nombre de points d'une variété algébrique sur un corps fini.
-- Calculs de sommes de Gauss et de Jacobi, utilisation de la formule de Gross-Koblitz.
-- Calculs numériques de fonctions L globales : transformées de Mellin inverses, équations fonctionnelles approchées, formules explicites.
-- Techniques analytiques remarquables : Euler-MacLaurin, calcul numerique de sommes et produits euleriens, sommations de séries alternées, intégration doublement exponentielle, sommation définie grâce à Abel-Plana.

Concrètement, une représentation galoisienne peut être donnée par un polynôme à coefficients rationnels, en une variable, dont l'ensemble des racines complexes est muni d'une structure de module sur un anneau fini, sur lequel le groupe de Galois opère par automorphismes. Par exemple, pour n un entier positif, l'ensemble des racines du polynôme x^n-1 est un sous-groupe de C^*, cyclique, d'ordre n, donc un (Z/nZ)-module libre de rang 1, avec action galoisienne. Pour E une courbe elliptique sur Q, le noyau de la multiplication par n sur le groupe des points complexes de E est un (Z/nZ)-module libre de rang 2, avec action galoisienne.

D'autres exemples de telles représentations de rang 2 proviennent de formes modulaires qui sont vecteur propre pour les opérateurs de Hecke (ces notions seront expliquées). Mais dans ce cas il n'est pas facile de produire un polynôme f dont l'ensemble des racines réalise la représentation. Le mini-cours expliquera comment un travail en commun avec Couveignes, de Jong, et Merkl, généralisé par Bruin, et Javanpeykar, montre qu'on peut produire de tels f en un temps de calcul polynomial en le niveau et poids de la forme modulaire et le cardinal de l'anneau fini. En conséquence on obtient un algorithme pour calculer très rapidement les coefficients de formes odulaires. Le fait que ces coefficients interviennent souvent dans des problèmes de comptage devrait donner d'autres applications.

Le résultat mentionné est théorique. De vrais calculs ont été réalisés par Bosman, et plus récemment par Mascot, Zeng, et Peng. La difficulté est que ces représentations vivent dans les variétés jacobiennes de courbes de genre élevé, et qu'il faut faire les calculs en temps polynomial en la dimension de ces variétés jacobiennes.

Le crible d'Eratostène est sans doute le premier algorithme qui permet de trouver tous les nombres premiers inférieurs à un certain entier x. D. Hawkins propose en 1957 un crible qui est l'analogue probabiliste du crible d'Erotostène. L'objet de l'exposé sera tout d'abord de rappeler certains résultats sur l'asymptotique des nombres premiers puis de présenter le crible de Hawkins et enfin de trouver, à l'aide de ce crible, l'équivalent voir l'amélioration des équivalents des résultats précédents dans le cadre des nombres premiers aléatoires.