On s'intéressera dans ce cours à des modèles de mécanique des fluides dans lesquels la solution d'un problème fluide posé dans un domaine à bord possède des variations rapides dans les directions normales et tangentielles au bord. La dépendance rapide dans la direction normale au bord traduit un effet de couche limite, tandis que celle dans la direction tangentielle est due à une hétérogénéité du modèle (par exemple des rugosités de la paroi). Le terme de couche limite joue alors un rôle analogue au correcteur en homogénéisation.

On s'intéressera alors aux questions suivantes : peut-on justifier quantitativement (à l'aide d'estimation d'erreurs) la présence d'une couche limite ? Comment les estimations d'erreur dépendent-elles de la structure des rugosités ? Quel est le comportement de la solution en sortie de couche limite ? À quoi ressemblent les lois de paroi pour les modèles limites ?

La théorie qualitative de l'homogénéisation (stochastique) des équations elliptiques linéaires assure qu'aux grandes échelles, on peut remplacer l'opérateur à coefficients hétérogènes par un opérateur à coefficients constants (l'opérateur homogénéisé).

Quantifier cette théorie revient à quantifier d'une part les oscillations (qui traduisent le défaut de compacité forte dans H^1) et d'autre part les fluctuations (qui traduisent le comportement probabiliste de quantités de type H^{-1}).

Je commencerai par un bref rappel des résultats qualitatifs et diviserai le reste du cours en trois parties : théorie de la régularité aux grandes échelles pour les opérateurs elliptiques à coefficients aléatoires, quantification des oscillations, théorie des fluctuations.